Un eslabón tiene una longitud de 0.4 metros y se mueve con una velocidad angular de -12rad/s y una aceleración angular de 3rad/s^2. Calcula las velocidades y aceleraciones totales lineales en coordenadas cartesianas suponiendo que el ángulo que el eslabón hace con la horizontal es de 50°
Para calcular las velocidades y aceleraciones totales lineales en coordenadas cartesianas, debemos recordar que la velocidad lineal está dada por la derivada temporal de la posición en coordenadas cartesianas, y la aceleración lineal está dada por la derivada temporal de la velocidad lineal.
Podemos empezar calculando las componentes de la velocidad angular en coordenadas cartesianas:
- Para la componente en el eje x (vx), podemos usar la ecuación vx = ω * h * cos(θ), donde ω es la velocidad angular, h es la longitud del eslabón y θ es el ángulo con la horizontal. Sustituyendo los valores dados, obtenemos vx = -12 rad/s * 0.4 m * cos(50°).
- Para la componente en el eje y (vy), podemos usar la ecuación vy = ω * h * sin(θ), donde ω es la velocidad angular, h es la longitud del eslabón y θ es el ángulo con la horizontal. Sustituyendo los valores dados, obtenemos vy = -12 rad/s * 0.4 m * sin(50°).
Ahora podemos calcular las componentes de la velocidad lineal en coordenadas cartesianas:
- Para la componente en el eje x (Vx), podemos usar la ecuación Vx = vx - ω * h * sin(θ), donde vx es la componente de la velocidad angular en el eje x, ω es la velocidad angular, h es la longitud del eslabón y θ es el ángulo con la horizontal. Sustituyendo los valores dados, obtenemos Vx = vx - (-12 rad/s) * 0.4 m * sin(50°).
- Para la componente en el eje y (Vy), podemos usar la ecuación Vy = vy + ω * h * cos(θ), donde vy es la componente de la velocidad angular en el eje y, ω es la velocidad angular, h es la longitud del eslabón y θ es el ángulo con la horizontal. Sustituyendo los valores dados, obtenemos Vy = vy + (-12 rad/s) * 0.4 m * cos(50°).
Finalmente, podemos calcular las componentes de la aceleración lineal en coordenadas cartesianas:
- Para la componente en el eje x (Ax), podemos usar la ecuación Ax = -ω^2 * h * cos(θ) - α * h * sin(θ), donde ω es la velocidad angular, h es la longitud del eslabón, α es la aceleración angular y θ es el ángulo con la horizontal. Sustituyendo los valores dados, obtenemos Ax = -(-12 rad/s)^2 * 0.4 m * cos(50°) - (3 rad/s^2) * 0.4 m * sin(50°).
- Para la componente en el eje y (Ay), podemos usar la ecuación Ay = -ω^2 * h * sin(θ) + α * h * cos(θ), donde ω es la velocidad angular, h es la longitud del eslabón, α es la aceleración angular y θ es el ángulo con la horizontal. Sustituyendo los valores dados, obtenemos Ay = -(-12 rad/s)^2 * 0.4 m * sin(50°) + (3 rad/s^2) * 0.4 m * cos(50°).
Para resolver este problema, debemos convertir las velocidades y aceleraciones angulares en velocidades y aceleraciones lineales.
Primero, convertiremos la velocidad angular a velocidad lineal utilizando la fórmula:
velocidad lineal = radio * velocidad angular
El radio es la longitud del eslabón, que en este caso es 0.4 metros. La velocidad angular es -12 rad/s.
velocidad lineal = 0.4 metros * (-12 rad/s) = -4.8 metros/s
El resultado es una velocidad lineal de -4.8 metros/s.
A continuación, convertiremos la aceleración angular a aceleración lineal utilizando la fórmula:
aceleración lineal = radio * aceleración angular
El radio nuevamente es 0.4 metros. La aceleración angular es 3 rad/s^2.
aceleración lineal = 0.4 metros * 3 rad/s^2 = 1.2 metros/s^2
El resultado es una aceleración lineal de 1.2 metros/s^2.
Finalmente, calcularemos las velocidades y aceleraciones en coordenadas cartesianas utilizando trigonometría. El ángulo que el eslabón hace con la horizontal es de 50°.
La velocidad total en el eje x se puede encontrar multiplicando la velocidad lineal por el coseno del ángulo:
velocidad x = velocidad lineal * cos(ángulo) = -4.8 metros/s * cos(50°) ≈ -3.07 metros/s
La velocidad total en el eje y se puede encontrar multiplicando la velocidad lineal por el seno del ángulo:
velocidad y = velocidad lineal * sen(ángulo) = -4.8 metros/s * sen(50°) ≈ -3.69 metros/s
La aceleración total en el eje x se puede encontrar multiplicando la aceleración lineal por el coseno del ángulo:
aceleración x = aceleración lineal * cos(ángulo) = 1.2 metros/s^2 * cos(50°) ≈ 0.92 metros/s^2
La aceleración total en el eje y se puede encontrar multiplicando la aceleración lineal por el seno del ángulo:
aceleración y = aceleración lineal * sen(ángulo) = 1.2 metros/s^2 * sen(50°) ≈ 0.92 metros/s^2
Por lo tanto, las velocidades totales lineales en coordenadas cartesianas son aproximadamente -3.07 metros/s en el eje x y -3.69 metros/s en el eje y, mientras que las aceleraciones totales lineales en coordenadas cartesianas son aproximadamente 0.92 metros/s^2 en el eje x y 0.92 metros/s^2 en el eje y.