Un eslabón tiene una longitud de 0.4 metros y se mueve con una velocidad angular de -12rads y una aceleración angular de 3rads2, ver figura. Calcula las velocidades y aceleraciones totales lineales en coordenadas cartesianas suponiendo que el ángulo que el eslabón hace con la horizontal es de 50°
Para calcular las velocidades y aceleraciones totales lineales en coordenadas cartesianas, debemos descomponer las velocidades y aceleraciones angulares en sus componentes cartesianas.
Primero, convertiremos el ángulo de 50° a radianes:
Ángulo = 50° = 50° * (π/180) = 0.8727 rad
La velocidad angular dada es de -12 rad/s, lo cual significa que el eslabón está rotando en sentido antihorario.
La velocidad angular se relaciona con la velocidad lineal mediante la fórmula:
v = ω * r
Donde v es la velocidad lineal, ω es la velocidad angular y r es la longitud del eslabón.
v = -12 rad/s * 0.4 m = -4.8 m/s
La aceleración angular dada es de 3 rad/s^2.
La aceleración angular se relaciona con la aceleración lineal mediante la fórmula:
a = α * r
Donde a es la aceleración lineal, α es la aceleración angular y r es la longitud del eslabón.
a = 3 rad/s^2 * 0.4 m = 1.2 m/s^2
Ahora, usaremos el ángulo de 50° para descomponer las velocidades y aceleraciones lineales en sus componentes cartesianas.
La velocidad lineal se descompone en dos componentes: una en la dirección x y otra en la dirección y.
v_x = v * cos(ángulo) = -4.8 m/s * cos(0.8727 rad) = -2.98 m/s
v_y = v * sin(ángulo) = -4.8 m/s * sin(0.8727 rad) = -2.02 m/s
La aceleración lineal también se descompone en dos componentes: una en la dirección x y otra en la dirección y.
a_x = a * cos(ángulo) = 1.2 m/s^2 * cos(0.8727 rad) = 0.85 m/s^2
a_y = a * sin(ángulo) = 1.2 m/s^2 * sin(0.8727 rad) = 0.57 m/s^2
Entonces, las velocidades totales lineales en coordenadas cartesianas son:
v_x = -2.98 m/s (en la dirección x)
v_y = -2.02 m/s (en la dirección y)
Y las aceleraciones totales lineales en coordenadas cartesianas son:
a_x = 0.85 m/s^2 (en la dirección x)
a_y = 0.57 m/s^2 (en la dirección y)
1. Primero, convertiremos el ángulo dado de 50° a radianes:
Ángulo en radianes = Ángulo en grados x (π/180)
Ángulo en radianes = 50° x (π/180) = 0.8727 radianes
2. A continuación, encontraremos la velocidad lineal del eslabón utilizando la fórmula:
Velocidad lineal = Longitud del eslabón x Velocidad angular
Velocidad lineal = 0.4 m x (-12 rad/s) = -4.8 m/s
La velocidad lineal es de -4.8 m/s en la dirección del movimiento del eslabón.
3. Luego, calcularemos la aceleración lineal utilizando la fórmula:
Aceleración lineal = Longitud del eslabón x Aceleración angular
Aceleración lineal = 0.4 m x (3 rad/s^2) = 1.2 m/s^2
La aceleración lineal es de 1.2 m/s^2 en la dirección del movimiento del eslabón.
4. Ahora vamos a descomponer la velocidad y la aceleración lineales totales en coordenadas cartesianas.
Velocidad total en el eje X:
Velocidad en X = Velocidad lineal x cos(Ángulo)
Velocidad en X = -4.8 m/s x cos(0.8727) ≈ -3.743 m/s
Velocidad total en el eje Y:
Velocidad en Y = Velocidad lineal x sin(Ángulo)
Velocidad en Y = -4.8 m/s x sin(0.8727) ≈ -0.9583 m/s
Por lo tanto, la velocidad total en coordenadas cartesianas es aproximadamente (-3.743 m/s, -0.9583 m/s).
5. Finalmente, descomponemos la aceleración lineal total en coordenadas cartesianas.
Aceleración total en el eje X:
Aceleración en X = Aceleración lineal x cos(Ángulo)
Aceleración en X = 1.2 m/s^2 x cos(0.8727) ≈ 0.7482 m/s^2
Aceleración total en el eje Y:
Aceleración en Y = Aceleración lineal x sin(Ángulo)
Aceleración en Y = 1.2 m/s^2 x sin(0.8727) ≈ 0.1917 m/s^2
Por lo tanto, la aceleración total en coordenadas cartesianas es aproximadamente (0.7482 m/s^2, 0.1917 m/s^2).