Soit a un nombre antier. On sait que 7 est un diviseur de a . 1. Démontrer que 7 divise aussi a2 2. Trouver au moins deux autre diviseur de a2
1. Pour démontrer que 7 divise a^2, nous devons montrer qu'il existe un nombre entier b tel que a^2 = 7b.
Comme 7 divise a, nous pouvons écrire a = 7c, où c est également un nombre entier. Ainsi, nous avons a^2 = (7c)^2 = 49c^2.
En posant b = c^2, nous avons 49c^2 = 7b. Par conséquent, 7 divise a^2.
2. Pour trouver d'autres diviseurs de a^2, nous pouvons utiliser le fait que si un nombre p est un diviseur de a, alors p^2 est un diviseur de a^2.
En utilisant cette propriété, nous avons :
- Comme 7 est un diviseur de a, alors 7^2 = 49 est un diviseur de a^2.
- Si a est divisible par un autre nombre premier p (en plus de 7), alors p^2 sera également un diviseur de a^2. Par exemple, si a est divisible par 2, alors 2^2 = 4 est un diviseur de a^2. De même pour tout autre nombre premier différent de 7 qui divise a.
Ainsi, au moins deux autres diviseurs de a^2 sont 49 et les carrés des autres nombres premiers divisant a (s'ils existent).
Pour démontrer que 7 divise a^2, nous devons utiliser la définition de la division. Si 7 est un diviseur de a, cela signifie qu'il existe un autre nombre entier b tel que a = 7b.
1. Pour démontrer que 7 divise a^2, nous devons montrer que a^2 est divisible par 7.
Alors, nous pouvons écrire a^2 = (7b)^2 = 49b^2.
On voit donc que a^2 est bien divisible par 7 car il peut être exprimé comme le produit de 7 et de b^2, un autre nombre entier (49b^2 = 7 * 7 * b^2).
2. Pour trouver d'autres diviseurs de a^2, nous pouvons utiliser la notion de diviseur de produit.
Le produit a^2 peut être exprimé sous la forme de a^2 = (7b)^2 = 49b^2.
Donc, les diviseurs de a^2 sont les mêmes que les diviseurs de 49b^2.
Deux exemples de diviseurs de a^2 sont :
- 1 est un diviseur de a^2, car 1 divise tous les nombres.
- 49 est un diviseur de a^2, car 49b^2 est un multiple de 49.
Donc, pour résumer :
1. Nous avons démontré que 7 divise a^2.
2. Deux autres diviseurs de a^2 sont 1 et 49.
Pour démontrer que 7 divise a², nous devons utiliser la définition de la division. Si 7 est un diviseur de a, cela signifie que a est divisible par 7 sans laisser de reste. Donc, nous pouvons écrire a = 7k, où k est un nombre entier.
Pour démontrer que 7 divise a², nous devons montrer que a² est également divisible par 7 sans laisser de reste. Nous pouvons exprimer a² comme suit : a² = (7k)² = 49k². Donc, a² est un multiple de 49.
Maintenant, pour trouver au moins deux autres diviseurs de a², nous pouvons utiliser la relation entre les diviseurs d'un nombre et ses facteurs premiers. Nous avons déjà montré que a² est divisible par 49 (7²), nous pouvons donc dire que 49 est un diviseur de a².
En utilisant cette relation, nous pouvons également trouver d'autres diviseurs de a². Par exemple, si nous multiplions 49 par un autre facteur premier, nous aurons un autre diviseur de a². Par exemple, si nous multiplions 49 par 2, nous obtenons 98, donc 98 est un autre diviseur de a².
En résumé, pour démontrer que 7 divise a², nous utilisons la définition de division et la relation entre les diviseurs et les facteurs premiers. Nous avons montré que a est divisible par 7, donc a = 7k. En utilisant cette définition, nous avons prouvé que a² est un multiple de 49. En utilisant la relation entre les diviseurs et les facteurs premiers, nous avons également identifié deux autres diviseurs de a² : 49 et 98.