Misalkan A dan B adalah himpunan, Buktikan bahwa A ∩ (A'U B) = A ∩ B
Untuk membuktikan persamaan ini, kita akan menggunakan hukum distribusi himpunan.
Pertama, kita dapat mengekspresikan himpunan A'U B sebagai gabungan dari komplement A dengan B, yaitu:
A' U B = (A') U B = (A ∩ A') U (A ∩ B)
Selanjutnya, kita akan membuktikan bahwa A ∩ (A' U B) = A ∩ B dengan menguraikan kedua sisi persamaan ini.
A ∩ (A'U B) = A ∩ [(A ∩ A') U (A ∩ B)] (distribusi)
= [(A ∩ A') U (A ∩ B)] ∩ A (komutatifitas)
= [(A ∩ A') ∩ A] U [(A ∩ B) ∩ A] (distribusi)
Saat menguraikan kedua sisi persamaan ini, kita dapat membagi menjadi dua bagian: bagian pertama yang berhubungan dengan A ∩ A' dan bagian kedua yang berhubungan dengan A ∩ B.
Untuk bagian pertama, A ∩ A' adalah himpunan kosong, karena A dan A' tidak memiliki elemen yang sama. Jadi, [(A ∩ A') ∩ A] = ∅.
Untuk bagian kedua, [(A ∩ B) ∩ A] = A ∩ B, karena himpunan A ∩ B berisi elemen-elemen yang sama dengan himpunan A.
Karena [(A ∩ A') ∩ A] = ∅ dan [(A ∩ B) ∩ A] = A ∩ B, kita dapat menyimpulkan bahwa:
A ∩ (A'U B) = A ∩ B
Dengan demikian, persamaan A ∩ (A'U B) = A ∩ B telah dibuktikan.
Bukti:
Untuk membuktikan bahwa A ∩ (A' U B) = A ∩ B, kita perlu membuktikan kedua bagian (A ∩ (A' U B)) ⊆ (A ∩ B) dan (A ∩ B) ⊆ (A ∩ (A' U B)).
Untuk membuktikan (A ∩ (A' U B)) ⊆ (A ∩ B), kita harus membuktikan bahwa setiap elemen x yang termasuk dalam A ∩ (A' U B) juga termasuk dalam A ∩ B.
Ambil x ∈ A ∩ (A' U B), maka x ∈ A dan x ∈ (A' U B).
Karena x ∈ A dan x ∈ (A' U B), maka x ∈ A dan (x ∈ A' atau x ∈ B).
Jika x ∈ A' berarti x tidak ada di A, yang berarti x ∉ A ∩ B.
Jika x ∈ B, maka x ∈ A ∩ B.
Dari kedua kasus di atas, dalam semua kasus, kita dapat menyimpulkan bahwa x ∈ A ∩ B. Oleh karena itu, (A ∩ (A' U B)) ⊆ (A ∩ B).
Selanjutnya, untuk membuktikan (A ∩ B) ⊆ (A ∩ (A' U B)), kita harus membuktikan bahwa setiap elemen x yang termasuk dalam A ∩ B juga termasuk dalam A ∩ (A' U B).
Ambil x ∈ A ∩ B, maka x ∈ A dan x ∈ B.
Karena x ∈ A dan x ∈ B, maka x ∈ A dan (x ∈ A' atau x ∈ B).
Dalam semua kasus, x ∈ A ∩ (A' U B) karena x ∈ A dan x ∈ (A' U B). Oleh karena itu, (A ∩ B) ⊆ (A ∩ (A' U B)).
Setelah membuktikan kedua bagian tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa A ∩ (A' U B) = A ∩ B.
Untuk membuktikan bahwa A ∩ (A' U B) = A ∩ B, kita perlu membuktikan kedua sisi persamaan ini secara terpisah.
Pertama-tama, mari kita membuktikan bahwa A ∩ (A' U B) ⊆ A ∩ B.
Misalkan x merupakan elemen dari A ∩ (A' U B). Ini berarti x adalah elemen dari A dan x juga merupakan elemen dari A' U B.
Jika x adalah elemen dari A' U B, maka ada dua kemungkinan:
1. Jika x adalah elemen dari A', berarti x tidak termasuk dalam himpunan A. Dalam hal ini, x juga tidak dapat menjadi elemen dari A ∩ B, sehi x tidak termasuk dalam A ∩ B.
2. Jika x adalah elemen dari B, berarti x termasuk dalam himpunan B. Dalam hal ini, x juga harus menjadi elemen dari A ∩ B, karena x juga termasuk dalam A.
Dalam kedua kasus di atas, x tidak termasuk dalam A ∩ B. Oleh karena itu, A ∩ (A' U B) ⊆ A ∩ B.
Selanjutnya, mari kita membuktikan bahwa A ∩ B ⊆ A ∩ (A' U B).
Misalkan x merupakan elemen dari A ∩ B. Ini berarti x adalah elemen dari A dan x juga merupakan elemen dari B.
Karena x juga merupakan elemen dari A, maka x adalah elemen dari A ∩ (A' U B). Karena x juga merupakan elemen dari B, ini juga berarti x adalah elemen dari A ∩ B.
Oleh karena itu, A ∩ B ⊆ A ∩ (A' U B).
Karena kita telah membuktikan A ∩ (A' U B) ⊆ A ∩ B dan A ∩ B ⊆ A ∩ (A' U B), maka kita dapat menyimpulkan bahwa A ∩ (A' U B) = A ∩ B.