Un capital placé à 9 % pendant une certaine durée de n ans a acquis une
valeur de 17400 $. Ce même capital placé à 10% pendant une durée (n-1)
ins aurait fourni un intérêt de 4800 $. Calculer ce capital et la première
durée de placement.
Soit x le capital initial et n la durée de placement en années.
On sait que le capital placé à 9% pendant n années a acquis une valeur de 17400$. Donc on a l'équation suivante :
x * 0.09 * n = 17400 (1)
De plus, on sait que le même capital placé à 10% pendant (n-1) années aurait fourni un intérêt de 4800$. Donc on a l'équation suivante :
x * 0.10 * (n-1) = 4800 (2)
On peut réorganiser l'équation (2) pour obtenir :
0.1x * (n-1) = 4800
0.1x * n - 0.1x = 4800
x * 0.1n - x * 0.1 = 4800
x * 0.1n - x * 0.1 = 4800
x * 0.1n = x * 0.1 + 4800
x * 0.1n = 0.1x + 4800
Maintenant, on peut diviser les deux côtés de l'équation par x pour obtenir :
0.1n = 0.1 + 4800/x (3)
On peut également diviser l'équation (1) par x pour obtenir :
0.09n = 17400/x (4)
Maintenant, on va résoudre les équations (3) et (4) pour n et x :
On multiplie l'équation (4) par 10/9 pour obtenir :
0.1n = (17400/x) * (10/9)
0.1n = 19333.33/x
On peut alors égaler les deux côtés de l'équation (3) et (4) :
19333.33/x = 0.1 + 4800/x
En multipliant chaque terme par x, on obtient :
19333.33 = 0.1x + 4800
On peut réorganiser cette équation pour obtenir :
0.1x = 19333.33 - 4800
0.1x = 14533.33
x = 14533.33 / 0.1
x = 145333.33
Maintenant, on remplace x par sa valeur dans l'équation (4) :
0.09n = 17400/145333.33
0.09n = 0.1197
n = 0.1197 / 0.09
n = 1.33
On approxime n à l'année la plus proche, donc n = 1.
Donc, le capital initial est de 145333.33$ et la durée de placement est d'un an.
Soit C le capital initial
Soit n la durée du placement en années
Selon l'énoncé, le capital placé à 9% pendant n ans a acquis une valeur de 17400 $.
Donc, le montant final du capital placé à 9% pendant n ans est C + (C * 0.09 * n) = 17400.
Selon l'énoncé, le même capital placé à 10% pendant (n-1) ans aurait fourni un intérêt de 4800 $.
Donc, l'intérêt généré par le capital placé à 10% pendant (n-1) ans est C * 0.10 * (n-1) = 4800.
Maintenant, nous pouvons résoudre ces deux équations simultanées pour trouver C et n.
1) C + (C * 0.09 * n) = 17400
2) C * 0.10 * (n-1) = 4800
Simplifions d'abord l'équation 2:
C * 0.10 * n - C * 0.10 = 4800
C * 0.10 * n - C * 0.10 + C * 0.10 = 4800 + C * 0.10
C * 0.10 * n = 4800 + C * 0.10
C * 0.10 * n = 4800 + 0.10C
0.10C * n = 4800 + 0.10C
Nous pouvons maintenant résoudre l'équation 1 pour C:
C + (C * 0.09 * n) = 17400
C * (1 + 0.09 * n) = 17400
C = 17400 / (1 + 0.09 * n)
Maintenant, remplaçons cette expression de C dans l'équation 2:
0.10C * n = 4800 + 0.10C
0.10 * (17400 / (1 + 0.09 * n)) * n = 4800 + 0.10 * (17400 / (1 + 0.09 * n))
(1740 / (1 + 0.09 * n)) * n = 4800 + 1740 / (1 + 0.09 * n)
Multiplions des deux côtés par (1 + 0.09 * n) pour éliminer le dénominateur:
1740 * n = (4800 + 1740) * (1 + 0.09 * n)
1740 * n = 6540 * (1 + 0.09 * n)
Distribuons 6540 dans le membre de droite:
1740 * n = 6540 + 590.60 * n
Réorganisons cette équation en regroupant les termes:
1740 * n - 590.60 * n = 6540
(1740 - 590.60) * n = 6540
Simplifions:
1149.40 * n = 6540
Divisons les deux côtés par 1149.40 pour résoudre pour n:
n = 6540 / 1149.40
n ≈ 5.69 ans
Maintenant, substituons cette valeur de n dans l'équation 1 pour trouver C:
C = 17400 / (1 + 0.09 * n)
C ≈ 17400 / (1 + 0.09 * 5.69)
C ≈ 17400 / (1 + 0.5121)
C ≈ 17400 / 1.5121
C ≈ 11503.98 $
Donc, le capital initial est d'environ 11503.98 $ et la durée du placement est d'environ 5.69 ans.
Pour résoudre ce problème, nous devons utiliser les principes de l'intérêt simple.
Soit C le capital initial que nous souhaitons calculer et n la durée de placement en années.
Nous savons que lorsque le capital est placé à 9% pendant n années, il atteint une valeur de 17400 $. Cela peut être représenté par l'équation suivante :
C + (0,09 * C * n) = 17400
Nous savons également que si ce même capital était placé à 10% pendant (n-1) années, il aurait fourni un intérêt de 4800 $. Cela peut être représenté par l'équation suivante :
0,10 * C * (n-1) = 4800
Nous avons maintenant un système d'équations à résoudre. Nous allons utiliser la méthode de substitution pour trouver les valeurs de C et n.
D'abord, résolvons la deuxième équation pour C :
0,10 * C * (n-1) = 4800
0,10C * n - 0,10C = 4800
0,10C * n = 4800 + 0,10C
0,10C * n = 4800 + 0,10 * C
0,10C * n = 0,10C + 4800
C * n = C + 48000
C * n - C = 48000
C(n - 1) = 48000
C = 48000 / (n - 1)
Maintenant, remplaçons C dans la première équation :
C + (0,09 * C * n) = 17400
(48000 / (n - 1)) + (0,09 * (48000 / (n - 1)) * n) = 17400
Maintenant, nous pouvons résoudre cette équation pour trouver les valeurs de n et C. Je vais le faire mathématiquement :
48000/(n-1) + 4320 = 17400
Multiplions à travers par (n-1)
48000 + 4320(n-1) = 17400(n-1)
48000 + 4320n - 4320 = 17400n - 17400
41880 = 13080n
n = 41880 / 13080
n = 3
En utilisant cette valeur pour n, nous pouvons maintenant trouver la valeur de C :
C = 48000 / (3 - 1)
C = 48000 / 2
C = 24000
Donc, le capital initial (C) est de 24000 $ et la durée de placement (n) est de 3 ans.