Considerando el vector de la forma r=rr, donde no es constante y r es el vector unitario, obtenga la primera derivada en notación de Euler y en forma vectorial con componentes i y j.
En notación de Euler, la primera derivada del vector será ẑ=r'`.
Para encontrar r', podemos usar la regla de la cadena. Primero, expresamos r en términos de sus componentes:
r = rr = xix + yiy.
Luego, derivamos cada componente con respecto al tiempo:
r' = d(rr)/dt = dx/dt i + dy/dt j.
Finalmente, simplificamos esta expresión considerando que r es el vector unitario:
r' = d(1r)/dt = (d1/dt)r + 1(dr/dt) = 0r + 1(dr/dt) = dr/dt,
donde dr/dt es la derivada de r con respecto al tiempo.
Por lo tanto, la primera derivada en notación de Euler es ẑ = dr/dt.
En forma vectorial con componentes i y j, la primera derivada será:
ẑ = dr/dt = (dx/dt) i + (dy/dt) j.
Esta es la misma expresión que obtuvimos en notación de Euler.
Para obtener la primera derivada en notación de Euler, consideramos que el vector r puede ser expresado como r = r1i + r2j, donde r1 y r2 son las componentes del vector r en las direcciones i y j respectivamente.
En notación de Euler, se puede expresar la derivada de un vector en función de su velocidad angular y su derivada temporal. En este caso, consideraremos que el vector r está rotando alrededor del origen con una velocidad angular dθ/dt.
La primera derivada en notación de Euler se calcula de la siguiente manera:
dr/dt = (dθ/dt)(dr/dθ)
Para obtener dr/dθ, encontramos la derivada con respecto a θ de las componentes r1 y r2:
dr1/dθ = -r2
dr2/dθ = r1
Reemplazando en la fórmula de la primera derivada en notación de Euler, obtendremos:
dr/dt = (dθ/dt)(-r2)i + (dθ/dt)(r1)j
Expresando en forma vectorial con las componentes i y j, la primera derivada en notación de Euler queda:
dr/dt = (-r2)(dθ/dt)i + (r1)(dθ/dt)j