Question

R=3-2sintheta find the area

The ans is 11π why I am I getting 12π I double checked my work still getting 12π

Answer 1

Area with polar coordinates:

α
∫ r² / 2 dθ
β

In this case:

r² = ( 3 - 2 sin θ )² = [ 3² - 2 ∙ 3 ∙ 2 sin θ + ( 2 sin θ )² ] =

9 - 12 sin θ + 4 sin² θ = 4 sin² θ - 12 sin θ + 9

r² / 2 = 1 / 2 ( 4 sin² θ - 12 sin θ + 9 ) = 2 sin² θ - 6 sin θ + 9 / 2

∫ 2 sin² θ dθ = 2 ∫ sin² θ dθ = 2 ∙ 1 / 2 ( θ - sin θ ∙ cos θ ) =

θ - sin θ ∙ cos θ = θ - 1 / 2 sin ( 2θ ) + C

∫ 6 sin θ dθ = 6 ∫ sin θ dθ = 6 ∙ ( - cos θ ) + C = - 6 cos θ + C

∫ 9 / 2 dθ = 9 θ / 2 + C

2π
∫ r² / 2 dθ =
0

2π
| θ - 1 / 2 sin ( 2θ ) - 6 cos θ + 9 θ / 2 | =
0

2 π - 1 / 2 sin ( 2 ∙ 2π ) - 6 cos ( 2 π ) + 9 ∙ 2 π / 2 -

[ 0 - 1 / 2 sin ( 2 ∙ 0 ) - 6 cos 0 + 9 ∙ 0 / 2 ] =

2π - 1 / 2 sin ( 4π ) - 6 cos ( 2π ) + 9 π - ( 0 - 1 / 2 sin 0 - 6 ∙ 1 + 0 ) =

2π - 1 / 2 ∙ 0 - 6 ∙ 1 + 9 π - ( - 1 / 2 ∙ 0 - 6 ) =

2π + 9 π - 0 - 6 - ( - 6 ) = 11 π - 6 + 6 = 11 π