La velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante t es v(t) = t√1 t². Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante t1 t2 = √6 hasta el instante √18.
Para determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante t1 hasta el instante t2, debemos calcular el área bajo la curva dada por la función de velocidad v(t) en ese intervalo.
La integral definida de la función de velocidad v(t) en el intervalo [t1, t2] nos dará la distancia recorrida.
∫v(t) dt = ∫(t√(1+t²)) dt
Para resolver esta integral, podemos realizar una sustitución trigonométrica. Haciendo la sustitución t = tan(u), podemos expresar la integral en términos de u:
dt = sec²(u) du
√(1+t²) = √(1+tan²(u)) = sec(u)
Sustituyendo en la integral, tenemos:
∫(t√(1+t²)) dt = ∫(tan(u) sec(u) sec²(u) du) = ∫(tan(u) sec³(u)) du
Podemos simplificar esto utilizando la identidad sec²(u) = 1 + tan²(u):
∫(tan(u) sec³(u)) du = ∫(tan(u) (1 + tan²(u)) sec(u)) du
Utilizando la sustitución t = tan(u), también debemos ajustar los límites de integración. En este caso, el límite inferior t1 = √6 corresponde a u1 = arctan(√6), y el límite superior t2 = √18 corresponde a u2 = arctan(√18).
Por lo tanto, podemos expresar la integral como:
∫(tan(u) (1 + tan²(u)) sec(u)) du = ∫(t(t² + 1) √(1 + t²)) dt
Calculando la integral, tenemos:
∫(t(t² + 1) √(1 + t²)) dt = ∫(t³√(1 + t²) + t√(1 + t²)) dt
Podemos calcular esta integral utilizando las propiedades de las integrales. Calculamos la integral de cada término por separado:
∫(t³√(1 + t²)) dt = ∫(t² * t√(1 + t²)) dt
= ∫(t²)(1/2)(d/dt)(1 + t²)^(3/2) dt
= (t²)(1/2)(1 + t²)^(3/2) - ∫(d/dt)(t²)(1/2)(1 + t²)^(3/2) dt
= (t²)(1/2)(1 + t²)^(3/2) - (1/2)∫t(1 + t²)^(3/2) dt
= (t²)(1/2)(1 + t²)^(3/2) - (1/2)(1/4)(1 + t²)^(5/2) + C1
= (t²)(1/2)(1 + t²)^(3/2) - 1/8(1 + t²)^(5/2) + C1
∫(t√(1 + t²)) dt = ∫(t)(1/2)(d/dt)(1 + t²)^(1/2) dt
= (t)(1/2)(1 + t²)^(1/2) - ∫(d/dt)(t)(1/2)(1 + t²)^(1/2) dt
= (t)(1/2)(1 + t²)^(1/2) - (1/2)∫(1/2)(1 + t²)^(1/2) dt
= (t)(1/2)(1 + t²)^(1/2) - 1/4(1 + t²)^(3/2) + C2
Donde C1 y C2 son constantes de integración.
Por lo tanto, la distancia recorrida por la partícula desde el instante t1 hasta el instante t2 es:
((t²)(1/2)(1 + t²)^(3/2) - 1/8(1 + t²)^(5/2) + C1) evaluada en t2, menos
((t)(1/2)(1 + t²)^(1/2) - 1/4(1 + t²)^(3/2) + C2) evaluada en t1
Simplificando y calculando las evaluaciones en t2 y t1:
(((t2)²)(1/2)(1 + (t2)²)^(3/2) - 1/8(1 + (t2)²)^(5/2) + C1) - (((t1))(1/2)(1 + (t1)²)^(1/2) - 1/4(1 + (t1)²)^(3/2) + C2)
Sustituyendo los valores de t1 = √6 y t2 = √18:
(((√18)²)(1/2)(1 + (√18)²)^(3/2) - 1/8(1 + (√18)²)^(5/2) + C1) - (((√6))(1/2)(1 + (√6)²)^(1/2) - 1/4(1 + (√6)²)^(3/2) + C2)
Simplificando aún más y calculando los valores numéricos:
(18)(1/2)(1 + 18^(3/2) - 1/8(1 + 18)^(5/2) + C1) - (√6)(1/2)(1 + 6)^(1/2) - 1/4(1 + 6)^(3/2) + C2