Considerando el vector de la forma r=ar, donde a es una constante y r es el vector unitario, obtenga la segunda derivada en notación de Euler y en forma vectorial con componentes i y j.
Para obtener la segunda derivada de r en notación de Euler, recordemos que r se puede escribir como el producto de una constante a y el vector unitario r. Entonces, la primera derivada de r es:
𝑟' = 𝑎 * 𝑟
Luego, podemos obtener la segunda derivada de r tomando la derivada de r' con respecto al tiempo:
𝑟'' = (𝑎 * 𝑟)' = 𝑎' * 𝑟 + 𝑎 * 𝑟'
Sin embargo, en notación de Euler, la derivada de un escalar con respecto al tiempo se obtiene como una derivada total, mientras que la derivada de un vector se obtiene como una derivada parcial. Para simplificar la notación, podemos denotar la derivada de r con respecto al tiempo como:
𝑟' = 𝑉
Entonces, la segunda derivada de r en notación de Euler queda:
𝑟'' = (𝑎 * 𝑟)' = 𝑎' * 𝑟 + 𝑎 * 𝑟' = 𝑎' * 𝑟 + 𝑎 * 𝑉
En forma vectorial con componentes i y j, podemos escribir la segunda derivada de r como:
𝑟'' = (𝑎' * 𝑟 + 𝑎 * 𝑉)𝑖 + (𝑎' * 𝑟 + 𝑎 * 𝑉)𝑗
Donde 𝑟 = 𝑟𝑖 + 𝑟𝑗, 𝑉 = 𝑉𝑖 + 𝑉𝑗, y 𝑎' es la derivada de a con respecto al tiempo.
Para obtener la segunda derivada del vector r en notación de Euler, primero necesitamos encontrar la primera derivada y luego derivarla nuevamente.
1. Primera derivada:
Dado que r es de la forma r = a * r̂, donde r̂ es el vector unitario, podemos escribirlo como:
r = a * (î * cosθ + ĵ * sinθ)
Donde î y ĵ son los vectores unitarios en las direcciones x e y, respectivamente, y θ es el ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo hasta el vector r.
Tomemos la derivada de r respecto a θ:
r' = d[a * (î * cosθ + ĵ * sinθ)] / dθ
r' = a * d(î * cosθ + ĵ * sinθ) / dθ
r' = a * (-î * sinθ + ĵ * cosθ)
2. Segunda derivada:
Tomemos ahora la derivada de r' respecto a θ:
r'' = d[a * (-î * sinθ + ĵ * cosθ)] / dθ
r'' = a * d(-î * sinθ + ĵ * cosθ) / dθ
r'' = a * (-î * cosθ - ĵ * sinθ)
La segunda derivada en notación de Euler es: r'' = a * (-î * cosθ - ĵ * sinθ)
En forma vectorial con componentes i y j, la segunda derivada es: r'' = -a * (cosθ * î + sinθ * ĵ)