El número de libro de mi biblioteca no es menor que 400 ni mayor que 500, si los agrupan de 4 en 4 sobrarían 2, si los agrupara de 8 en 8 sobrarían 6, si los agrupan de 18 en 18 sobrarían 16, y si los agrupara de 16 en 16 sobrarían 14. ¿Cuántos libros tengo en mi biblioteca?
Mi resolucion:
400<x<500
x=multiplo de +2
x=multiplo de 8+6
x=multiplo de 18+16
No le entendí nada qiue mala onda vanessa
Hola como te llames me podrias dar la respuesta defrente por vavor te lo suplico
Para resolver este problema, podemos utilizar el concepto de números congruentes. Dado que los números se agrupan de diferentes formas y nos dan el número de libros que sobran, podemos expresar la situación con ecuaciones congruentes.
Primero, observamos que si agrupamos los números de 4 en 4, sobran 2. Esto nos indica que el número de libros es congruente con 2 (mod 4). Por lo tanto, podemos escribir la primera ecuación congruente como:
x ≡ 2 (mod 4)
Luego, si agrupamos los números de 8 en 8, sobran 6. Esto nos indica que el número de libros es congruente con 6 (mod 8). Por lo tanto, podemos escribir la segunda ecuación congruente como:
x ≡ 6 (mod 8)
Después, si agrupamos los números de 18 en 18, sobran 16. Esto nos indica que el número de libros es congruente con 16 (mod 18). Por lo tanto, podemos escribir la tercera ecuación congruente como:
x ≡ 16 (mod 18)
Por último, si agrupamos los números de 16 en 16, sobran 14. Esto nos indica que el número de libros es congruente con 14 (mod 16). Por lo tanto, podemos escribir la cuarta ecuación congruente como:
x ≡ 14 (mod 16)
Ahora, podemos utilizar el método de resolución de sistemas de congruencias para encontrar el valor de x que satisface todas estas ecuaciones congruentes.
Siguiendo este método, primero buscamos un número k que sea congruente con 2, 6, 16 y 14 al mismo tiempo. Un número que cumple estas condiciones es 122. Podemos expresar esto como:
k ≡ 2 (mod 4)
k ≡ 6 (mod 8)
k ≡ 16 (mod 18)
k ≡ 14 (mod 16)
A continuación, podemos utilizar el método de la combinación lineal para obtener una ecuación que nos dé la solución general del sistema de congruencias. Una solución particular a este sistema es 122, por lo que podemos escribir la solución general como:
x ≡ 122 (mod 4 * 8 * 18 * 16)
Simplificando la expresión, tenemos:
x ≡ 122 (mod 1152)
Esto significa que el número de libros en la biblioteca es congruente con 122 (mod 1152). Para encontrar el valor particular de x dentro del rango dado, podemos probar diferentes valores de k hasta que encontremos un valor que satisface la desigualdad 400 < x < 500.
Probando algunos valores de k, encontramos que k = 146 cumple con la desigualdad. Por lo tanto, el número de libros en la biblioteca es 122 + 1152 * 146 = 169510.
Por lo tanto, tienes 169510 libros en tu biblioteca.
Para resolver este problema, vamos a usar el método de la congruencia. Primero, vamos a analizar cada una de las condiciones dadas:
1. Si los libros se agrupan de 4 en 4, sobran 2.
Esto significa que el número de libros debe ser congruente a 2 módulo 4. En otras palabras, si x es el número de libros, entonces x ≡ 2 (mod 4).
2. Si los libros se agrupan de 8 en 8, sobran 6.
Esto significa que el número de libros debe ser congruente a 6 módulo 8. Es decir, x ≡ 6 (mod 8).
3. Si los libros se agrupan de 18 en 18, sobran 16.
Esto implica que el número de libros debe ser congruente a 16 módulo 18. Entonces, x ≡ 16 (mod 18).
4. Si los libros se agrupan de 16 en 16, sobran 14.
Esto implica que el número de libros debe ser congruente a 14 módulo 16. Es decir, x ≡ 14 (mod 16).
Ahora vamos a buscar un número que cumpla todas estas condiciones. Podemos utilizar el método chino del resto para resolver este sistema de congruencias.
Primero, vamos a resolver las dos primeras ecuaciones:
x ≡ 2 (mod 4) ---(1)
x ≡ 6 (mod 8) ---(2)
Podemos usar el método de sustitución para resolverlo:
De la ecuación (1), podemos obtener que x = 4a + 2 (donde a es un número entero).
Sustituyendo esto en la ecuación (2), obtenemos:
4a + 2 ≡ 6 (mod 8)
4a ≡ 4 (mod 8)
Dividiendo ambos lados por 4:
a ≡ 1 (mod 2)
Esto nos da que a = 2b + 1 (donde b es un número entero).
Sustituyendo el valor de a en x=4a+2, obtenemos:
x = 4(2b + 1) + 2
x = 8b + 6
Ahora tenemos una nueva ecuación:
x ≡ 8b + 6 (mod 8) ---(3)
Ahora resolveremos las siguientes dos ecuaciones:
x ≡ 16 (mod 18) ---(4)
x ≡ 14 (mod 16) ---(5)
Usaremos nuevamente el método de sustitución para resolverlo.
De la ecuación (4), podemos obtener que x = 18c + 16 (donde c es un número entero).
Sustituyendo esto en la ecuación (5), obtenemos:
18c + 16 ≡ 14 (mod 16)
18c ≡ -2 (mod 16)
Sumando 2 a ambos lados:
18c + 2 ≡ 0 (mod 16)
Dividiendo ambos lados por 2:
9c + 1 ≡ 0 (mod 16)
Esto nos da que 9c ≡ -1 (mod 16).
Podemos determinar dos valores de c que satisfacen esta congruencia:
c = 9 o c = 25
Entonces, x puede ser de la forma:
x = 18(9) + 16 = 178
x = 18(25) + 16 = 466
Ahora vamos a ver cuántos libros podrían haber en la biblioteca dentro del rango de 400 a 500:
El número de libro de mi biblioteca no es menor que 400 ni mayor que 500
Entonces, el número de libros en la biblioteca podría ser 400, 418, 436, 454, 472, 490.
De estos números, solo 466 cumple todas las condiciones dadas.
Por lo tanto, concluimos que el número de libros en su biblioteca es 466.