Use diferenciales para estimar la cantidad de estaño en una lata cerrada de este metal con diámetro de 8 cm y altura de 12 cm, si el estaño tiene 0.004 cm de grosor.
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Para estimar la cantidad de estaño en la lata cerrada, podemos utilizar diferenciales de volumen. El volumen de la lata se puede encontrar restando el volumen interno (volumen del cilindro interior) al volumen externo (volumen del cilindro exterior).
1. Calculemos el volumen externo:
El cilindro exterior tiene un diámetro de 8 cm y una altura de 12 cm. Utilicemos la fórmula del volumen de un cilindro: V = π * r^2 * h, donde r es el radio y h es la altura.
El radio del cilindro exterior es la mitad del diámetro, por lo que r = 8 cm / 2 = 4 cm.
El volumen externo es: V_externo = π * 4^2 * 12 = 192π cm^3.
2. Calculemos el volumen interno:
El cilindro interior tiene un diámetro igual al diámetro exterior menos dos veces el grosor del estaño. Por lo tanto, el diámetro interior es de 8 cm - (2 * 0.004 cm) = 7.992 cm.
El radio del cilindro interior es la mitad del diámetro interior, por lo que r = 7.992 cm / 2 = 3.996 cm.
El volumen interno es: V_interno = π * (3.996)^2 * 12 = 191.517π cm^3.
3. Calculemos la cantidad de estaño:
La diferencia de volumen entre la lata cerrada y el espacio interno es la cantidad de estaño. Por lo tanto, la cantidad de estaño estimada es: Cantidad de estaño = V_externo - V_interno = 192π - 191.517π = 0.483π cm^3.
Por lo tanto, la estimación de la cantidad de estaño en la lata cerrada es de aproximadamente 0.483π cm^3.
Para estimar la cantidad de estaño en una lata cerrada, primero necesitamos calcular el volumen del estaño y luego restar el volumen del espacio interior de la lata.
El volumen de un cilindro, que es la forma que tiene la lata, se calcula multiplicando el área de la base por la altura. En este caso, la base es un círculo con radio igual al diámetro dividido por 2, y la altura es la altura de la lata más el grosor del estaño en ambos lados.
1. Calcular el volumen del estaño:
- Radio del estaño (r₁) = diámetro / 2 = 8 cm / 2 = 4 cm
- Grosor del estaño (d) = 0.004 cm
- Volumen del estaño (V₁) = π * r₁² * d
= π * (4 cm)² * 0.004 cm
= π * 16 cm² * 0.004 cm
≈ 0.201 cm³
2. Calcular el volumen interior de la lata:
- Radio de la lata (r₂) = diámetro / 2 = 8 cm / 2 = 4 cm
- Altura de la lata (h) = 12 cm
- Grosor del estaño en ambos lados (2 * d) = 2 * 0.004 cm = 0.008 cm
- Volumen interior de la lata (V₂) = π * r₂² * (h - 2 * d)
= π * (4 cm)² * (12 cm - 0.008 cm)
= π * 16 cm² * 11.992 cm
≈ 723.5 cm³
3. Restar el volumen interior de la lata del volumen del estaño para obtener la cantidad estimada de estaño:
- Cantidad estimada de estaño = V₁ - V₂
= 0.201 cm³ - 723.5 cm³
≈ -723.299 cm³
Dado que obtuvimos un número negativo, eso significa que hay un error en las mediciones o en el cálculo de los valores.